充分性 $\RA$ 下证 Poisson 过程 $\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 满足 $\Bqty{X_n, n \ge 1}$ 独立同分布 $E(\lambda)$.

a.1 求 $(\soneto{S}{n})$ 的联合概率密度.

令 $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ 并取充分小的 $h > 0$ 使得

利用 Poisson 过程的微分性质, 得

令 $h \to 0+$, 于是有

a.2 求 $(\soneto{X}{n})$ 的联合概率密度.

注意到 $X_n = S_n - S_{n-1}$, 令 $x_n = t_n - t_{n-1}$, 则

于是 $(\soneto{X}{n})$ 的联合概率密度为

a.3 证明 $X_n \sim E(\lambda)$ 且相互独立.

于是可得 $X_k$ 的概率密度为

即 $X_k \sim E(\lambda)$. 又有

于是 $X_k$ 相互独立.

必要性 $\LA$ 若 $\Bqty{X_k, k \ge 1}$ 独立同指数分布, 如下定义计数过程

则下证计数过程 $\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 是 Poisson 过程.

b.1 求 $(\soneto{S}{n})$ 的联合概率密度与 $N(t)$ 的分布.

由充分性第二步的逆过程, 由 $\soneto{X}{n}$ 的联合概率密度

可得 $\soneto{S}{n}$ 的联合概率密度为

于是可得 $S_n$ 的分布为

从而得到

b.2 证明增量平稳性.

注意到 $N(s + t)$ 和 $N(s)$ 并不相互独立, 所以要转换为 $S_k$ 研究.

b.2.1 当 $n = 0$ 时,

从而增量平稳. 注意这里的 $\dsum_{k = 1}^\infty \dd{P\Bqty{S_k \le u}} = \lambda \dd{u}$.

b.2.2 当 $n \ge 1$ 时,

对于上式第一项,

第二项是类似的, 于是有

b.3 证明增量独立性.

这里仅证 $\forall s, t > 0: N(s)$ 与 $N(s + t) - N(s)$ 独立, 其它情况是类似的.

仅证 $m \ge 1$, $n \ge 1$ 时的独立性, 其它情况是类似的.

由增量平稳性以及 b.2.2 的第二式,

从而得证.